Número cardinal

O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz ordem e dá ideia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc.[1] O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números.[2]

História

A noção de cardinalidade, como é compreendida hoje em dia, foi formulada por Georg Cantor, o criador da teoria dos conjuntos, em 1874-1884.[3] Cantor foi o primeiro a estabelecer a cardinalidade como um instrumento para comparar conjuntos finitos; por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4} não são iguais, mas têm a mesma cardinalidade: três.

Cantor identificou o fato que a correspondência um-para-um é a maneira de dizer que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, chamado "cardinalidade", no caso de conjuntos finitos. Usando esta correspondência de um-para-um, ele aplicou o conceito de conjuntos infinitos, por exemplo, o conjunto de números naturais = {0, 1, 2, 3, ...}. Ele chamou esses números cardinais de números cardinais transfinitos, e definiu que todos os conjuntos que tenham uma correspondência com são conjuntos enumeráveis (contável infinito).[4]

Nomeando este número cardinal aleph-null, Cantor provou que qualquer subconjunto ilimitado de tem a mesma cardinalidade que mesmo que à primeira vista isso possa parecer funcionar, são contrários à intuição. Ele também mostrou que o conjunto de todos os pares ordenados de números naturais é enumerável (o que implica que o conjunto de todos os números racionais é enumerável), e mais tarde mostrou que o conjunto de todos os números algébricos é também enumerável. Cada número algébrico z podem ser codificados como uma sequência finita de números inteiros cujos coeficientes na equação polinomial de que é a solução, ou seja, a n-tupla ordenada juntamente com um par de racionais tais que z é a única raiz do polinômio com coeficientes que se situa no intervalo

Em seu artigo de 1874, Cantor provou que existem números cardeais de ordem superior, mostrando que o conjunto dos números reais tem cardinalidade maior que a de N. Sua apresentação original usou um argumento complexo, com [intervalos aninhados], mas em um artigo de 1891, ele provou a mesmo resultado usando um argumento engenhoso, mas simples diagonal. Este novo número cardinal, chamado a cardinalidade do contínuo, foi denominado por Cantor.

Cantor também desenvolveu uma grande parte da teoria geral dos números cardinais, ele provou que há um número cardinal transfinito menor ( aleph-null) e que para todo número cardinal,[4] há um próximo cardinal maior

Sua hipótese do contínuo é a proposição que é a mesma que mas este foi encontrado para ser independente dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos da matemática, ele nem pode ser provado nem refutado sob os padrões pressupostos.