Identidade trigonométrica

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Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil sempre que expressões que contêm expressões trigonométricas devam ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação. Uma importante aplicação, exemplo notável da técnica de substituição, é a integração de funções não-trigonométricas: um recurso comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Notação

Ângulos

Ângulos são entidades geométricas definidas em geometria euclidiana plana ou tridimensional, podendo ser estendidos para geometrias não-euclidianas. Um ângulo, plano ou não, é caracterizado por sua abertura, e essa abertura pode ser medida.
Embora sejam entidades distintas, sob o rigor lógico-matemático, costuma-se, por simplicidade de nomenclatura e notação (e de sentenças pertinentes), empregar o termo "ângulo" por "medida de ângulo", sempre que não houver comprometimento de ideias.

É usual utilizar letras gregas como alfa (α), beta (β), theta (θ) e phi (φ), ou letras latinas iniciais, como "a", "b", "c" etc., ou medianas ("m", "n", "p" etc.), para representar medidas de ângulos, que sejam conhecidos por generalidade e por princípio (a priori).
Contudo, quando expressões matemáticas, que são sentenças lógico-matemáticas, envolverem medidas de ângulo como quantidades variáveis (variáveis matemáticas), devem-se preferir "x", "y", "z" etc., conforme convenção para variáveis.
Assim, ao se escreverem expressões que representam relações, funções, igualdades, identidades ou equações com um ou mais argumento variável, os símbolos convencionais adequados a essa aplicação ("x", "y", "z" etc.) devem-se utilizar.

Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo grau, radiano e grado, além de reto, correspondente à medida de um ângulo reto:

  • 1 volta completa  = 360 graus = 2 radianos  =  400 grados  =  4 retos.

A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:

Graus 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radianos
Grados 33⅓ grados 66⅔ grados 133⅓ grados 166⅔ grados 233⅓ grados 266⅔ grados 333⅓ grados 366⅔ grados
Graus 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radianos
Grados 50 grados 100 grados 150 grados 200 grados 250 grados 300 grados 350 grados 400 grados

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo, justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométrica a partir das funções seno e cosseno. A notação utilizada para essas funções é   e , respectivamente, onde é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, ficando da seguinte forma: e.

A função tangente (escreve-se "" ou "" ) de um ângulo é a razão entre seno e o cosseno do mesmo ângulo:

.

Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca, secante (), cossecante () e cotangente (), das funções cosseno, seno e tangente, respectivamente:

  • ;
  • ;
  • .
Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)