Hipótese de Riemann

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Problemas do Prémio Millennium
P versus NP
Conjectura de Hodge
Conjectura de Poincaré (solução)
Hipótese de Riemann
Existência de Yang-Mills e intervalo de massa
Existência e suavidade de Navier-Stokes
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
 
Gráficos das partes real (a vermelha) e imaginária (a azul) da linha crítica da função zeta de Riemann. Podem ver-se os primeiros zeros não triviais em Im(s) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.
Um gráfico polar de zeta, ou seja, Re(zeta) vs. Im(zeta), ao longo da linha crítica s=it+1/2, com t com valores de 0 a 34.

A hipótese de Riemann é uma hipótese (ou conjectura) matemática, publicada pela primeira vez em 1859 pelo matemático Bernhard Riemann, que declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann ζ(s) pertencem todos à "linha crítica"[1] :

onde denota a parte real de s.

Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares: .

A hipótese de Riemann, devido à relação que tem com a distribuição de números primos no conjunto dos naturais, é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem o provar.[2]

A maior parte da comunidade matemática crê que a conjetura é correta, embora outros grandes matemáticos como J. E. Littlewood e Atle Selberg se tenham mostrado cépticos, embora o cepticismo de Selberg fosse diminuindo.

Relação com números primos

Por razões mais profundas, o problema está relacionado com várias questões sutis envolvendo os números primos. Por exemplo: se denota o -ésimo número primo (de modo que , , , , e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabelece que a diferença entre dois números primos consecutivos, , cresce "na mesma velocidade" que . Mais especificamente, existe uma constante real positiva de maneira que vale a desigualdade

para todo suficientemente grande. Para provar este resultado, a demonstração de Cramer utilizou crucialmente a Hipótese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princípio ser falso, caso a Hipótese também seja.