E (constante matemática)

Disambig grey.svg Nota: Se procura constante de Euler, veja constante de Euler.
Gráfico da equação Aqui, e é o número único maior que 1 que faz a área à sombra ser igual a 1.

O número e é uma constante matemática que é a base dos logaritmos naturais. Por vezes é chamado número de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, número de Napier, em homenagem a John Napier, número de Neper[1], constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial e outros. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

Cujo valor é aproximadamente 2,718281828459045235360287.

Caracterizações menos triviais de

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:

O número pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

Aqui n! representa o fatorial de n.

A função (função exponencial de base ) pode ser representada da seguinte forma:

,

assim, por exemplo, tem-se :

ou ainda

Outra maneira de se encontrar o valor de é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

Ou, de forma mais simplificada (sequência A003417 na OEIS):

que pode ser escrita mais harmoniosamente com a utilização do zero:

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam já foram desenvolvidas.