Cinemática

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Cinemática (do grego κινημα, movimento) é o ramo da física que se ocupa da descrição dos movimentos dos corpos, sem se preocupar com a análise de suas causas (Dinâmica). Geralmente trabalha-se aqui com partículas ou pontos materiais, corpos em que todos os seus pontos se movem de maneira igual (mesma velocidade, com a mesma orientação) e em que são desprezadas suas dimensões em relação ao problema.

Conceitos

Movimento e graus de liberdade

Um objeto encontra-se em movimento se a sua posição for diferente em diferentes instantes; se a posição permanecer constante, o objeto estará em repouso. Para podermos determinar a posição do objeto, será necessário usarmos outros objetos como referência. Se a posição do corpo em estudo variar em relação ao referencial (objetos em repouso usados como referência), o corpo estará em movimento em relação a esse referencial.

Assim, o movimento é um conceito relativo, já que um objeto pode estar em repouso em relação a um primeiro referencial, mas em movimento em relação a um segundo referencial.[1]

Os graus de liberdade de um sistema são as variáveis necessárias para medirmos a sua posição exata. Por exemplo, para determinar a posição de uma mosca numa sala, podíamos medir a sua distância até o chão e até duas paredes perpendiculares na sala. Teríamos assim um sistema de três coordenadas perpendiculares (coordenadas cartesianas), que se costumam designar pelas letras x, y e z.

Mas para além de se deslocar variando o valor das 3 coordenadas x, y e z, a mosca também pode mudar a sua orientação. Para definir a orientação da reta paralela ao corpo da mosca podemos usar 2 ângulos e seria preciso outro ângulo para indicar a sua rotação em relação a essa reta; assim, temos já 6 graus de liberdade. Continuando, a mosca pode também esticar ou dobrar o seu corpo, abrir ou fechar as asas, etc., e, portanto, do ponto de vista físico tem muitos graus de liberdade.

Podemos simular o movimento da mosca como o movimento de 3 corpos rígidos: as duas asas e o bloco constituído por cabeça, tórax e abdómen. Um corpo rígido é um objeto em que todas as partes mantêm sempre as mesmas distâncias relativas às outras partes. Os movimentos desses 3 corpos rígidos são diferentes, as asas têm movimentos oscilatórios, mas não são completamente independentes, já que existe um ponto comum entre cada asa e o tórax.

Movimento dos corpos rígidos

A posição de um corpo rígido em qualquer instante pode ser determinada indicando a posição de um ponto do corpo, a orientação de um eixo fixo em relação ao corpo e um ângulo de rotação à volta desse eixo.

A posição do ponto de referência é dada por 3 variáveis e para especificar a orientação do eixo são precisos dois ângulos; assim, um corpo rígido é um sistema com seis graus de liberdade: 3 coordenadas de posição para a posição do ponto de referência, dois ângulos para a orientação do eixo e um ângulo à volta desse eixo.

Se o eixo do corpo rígido mantiver a mesma direção enquanto se desloca, o movimento será de translação. Se existir um ponto dentro do corpo que não se desloca, enquanto outros pontos do corpo estão em movimento, o movimento será de rotação pura. O movimento mais geral será uma sobreposição de translação e rotação (figura abaixo).

Um corpo rígido pode ter movimento de translação, de rotação ou uma sobreposição dos dois.

Na segunda e terceira parte na figura acima, o martelo rodou em relação a um eixo que permaneceu sempre perpendicular à página e perpendicular ao plano da translação na terceira parte. O eixo de rotação poderá não ser o mesmo em diferentes instantes e não ser perpendicular ao plano de translação.

No caso mais simples de translação sem rotação, todos os pontos do corpo rígido seguem a mesma trajetória. Assim, bastará estudar o movimento de um único ponto qualquer no corpo rígido. Para definir a posição desse ponto serão precisas, em geral, 3 variáveis e, portanto, o sistema terá 3 graus de liberdade.

Quando existe translação combinada com rotação, a trajetória de cada ponto no corpo rígido será diferente. Por exemplo, numa roda de um automóvel em movimento, os pontos na superfície dos pneus seguem uma trajetória de cicloide mas existe um ponto que tem uma trajetória mais simples: o centro da roda. Será mais fácil estudar o movimento de translação do centro da roda e a esse movimento sobrepor a rotação. E para estudar a translação do centro teremos novamente 3 graus de liberdade associados com a posição de um ponto.

Movimento em uma, duas ou três dimensões

O caso mais geral do movimento de um ponto no espaço é um movimento em 3 dimensões, porque existem 3 graus de liberdade, x, y e z que variam em função do tempo. Mas esses três graus de liberdade associados ao movimento de translação do corpo rígido podem ser reduzidos a dois ou um em alguns casos.

O movimento de um automóvel numa autoestrada pode ser considerado um movimento em uma dimensão (figura ao lado). Se o automóvel sofrer uma avaria e o condutor tiver que telefonar para pedir um reboque, bastará dizer em que quilômetro da autoestrada se encontra para que o condutor do caminhão de reboque saiba para onde tem que se dirigir.

Assim, o movimento dos automóveis na autoestrada é o aumento da distância percorrida ao longo da estrada e essa distância é o único grau de liberdade.

De referir que a distância percorrida não é medida em linha reta, mas ao longo de uma curva no espaço com 3 dimensões; no entanto, como o percurso dessa curva já está estabelecido,basta apenas uma variável para descrever a posição em cada instante.

Se estivéssemos a construir um sistema de condução automático, teríamos que introduzir outra variável, por exemplo, a distância até a berma da estrada, e o movimento em estudo seria em duas dimensões.

Movimentos dependentes

Em alguns sistemas em que aparentemente são necessárias várias variáveis para descrever o movimento dos diferentes componentes do sistema, o número de graus de liberdade pode ser menor devido à existência de restrições no movimento. A figura abaixo mostra um exemplo; enquanto o cilindro desce, o carrinho se desloca sobre a mesa.[1]

Sistema com dois movimentos dependentes e um único grau de liberdade.

O movimento do carrinho pode ser descrito pela variação da distância horizontal até o eixo da roldana fixa. O movimento do cilindro será igual ao movimento da roldana móvel e, portanto, pode ser descrito pela expressão para a distância vertical entre os centros das roldanas, em função do tempo.[1]

Mas, enquanto o fio permanecer esticado e sem se quebrar, existirá uma relação entre as velocidades e as acelerações do carrinho e do cilindro. Para encontrar essa relação, escreve-se a o comprimento do fio, , em função das distâncias e :

Em que e são os raios das duas roldanas.

O fio toca um quarto do perímetro da roldana fixa e metade do perímetro da roldana móvel .

Tendo em conta que , , e são constantes, e derivando a equação anterior em ordem ao tempo, obtém-se,

Ou seja, o valor da velocidade do carrinho será sempre o dobro do valor da velocidade do cilindro. O sinal negativo na equação acima indica que se o cilindro desce o carrinho desloca-se para a direita e vice-versa.[1]

Derivando novamente essa última equação em ordem ao tempo, conclui-se que a aceleração do carrinho segundo a trajetória também é o dobro do que a aceleração do cilindro segundo a sua trajetória:

Estas relações entre as posições, velocidades e acelerações implicam que o sistema tem apenas um grau de liberdade. Uma vez conhecidas as expressões para a posição, velocidade e aceleração de um dos objetos, as expressões da posição, velocidade e aceleração do outro objeto serão obtidas multiplicando (ou dividindo) por 2.

Um segundo exemplo, com dois graus de liberdade, é o sistema de três roldanas e três cilindros na figura abaixo. As alturas dos três cilindros são determinadas pelos valores das 3 distâncias y B {\displaystyle y_{\mathrm {B} }} y C {\displaystyle y_{\mathrm {C} }} ; como existe um único fio em movimento, existe apenas uma restrição (comprimento do fio constante), que permitirá expressar uma das três distâncias em função das outras duas.[1]

Sistema com três movimentos dependentes e dois graus de liberdade.

O comprimento do fio é,

Em que a constante é a soma de metade dos perímetros das roldanas, que não é importante conhecer, já que vai desaparecer quando a equação for derivada e só altera as posições num valor constante.

A derivada da equação anterior em ordem ao tempo é,

Neste caso existem vários possíveis movimentos; por exemplo, se o cilindro A estiver a subir e o cilindro C estiver a descer com a mesma velocidade, o cilindro B permanecerá estático; ou um dos cilindros poderá estar a descer e os outros dois a subir. O que sim não é possível é que os 3 cilindros estejam simultaneamente a descer ou a subir.

A derivada da equação anterior conduz à relação entre as acelerações,

Referencial

É um sistema de referência em relação ao qual é definido o vetor posição t {\displaystyle {t}} . Assume-se geralmente como origem do sistema de coordenadas a posição t 0 {\displaystyle {t_{0}}} . Este instante é escolhido arbitrariamente; para fins práticos pode-se dizer que é o instante em que se dispara o cronômetro para a análise do fenômeno.

Trajetória

Um corpo, em relação a um dado referencial , ocupa um determinado ponto em um dado instante . Chama-se de trajetória ao conjunto dos pontos ocupados por um corpo ao longo de um intervalo de tempo qualquer.

Deslocamento

É o vetor resultante da subtração do vetor posição final S 0 {\displaystyle {\vec {S_{0}}}} :

É importante notar que o deslocamento é de natureza vetorial, ou seja, são consideradas sua posição, direção e sentido. Em certos casos, porém, como em uma corrida de fórmula 1, é mais interessante trabalhar apenas com a distância percorrida , que é o comprimento da trajetória realizada.